[백준] 1168번 - 요세푸스 문제 2 [Java][C++]

문제 링크

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1. 문제 풀이

$N$ 이 최대 $100,000$ 인 상황에서 요세푸스 순열을 구하는 문제로 큐를 활용한 풀이는 시간 초과가 발생한다. $1$ 부터 $N$ 까지 각 수의 등장 횟수를 $1$ 로 초기화한 세그먼트 트리를 활용하면 해결할 수 있는데 $k$ 번째 수를 반환하는 함수와 $k$ 번째 수를 제거하는 함수를 통해 $O(\log{N})$ 의 시간복잡도로 쿼리를 처리할 수 있다.

각 수는 한번씩 등장하며 제거할 때는 $0$ 으로 갱신하고 상위 노드는 하위 노드의 구간을 포함하는 등장 횟수이므로 구간 합을 처리하는 세그먼트 트리로 구현하면 된다. 요세푸스 문제에서 순열이 원순열이라 제거할 $k$ 번째를 매번 계산해야 하는데 alive 변수를 통해 현재 순열의 크기를 갱신해나갔고, cur 변수를 통해 제거할 사람의 인덱스를 셌다. cur = (cur + K - 1) % alive 식을 활용하면 원순열에서 제거할 사람의 인덱스를 매번 갱신할 수 있는데 이때 모듈러 연산을 위해 0-base로 계산하지만 실제로는 1번부터 시작이기에 쿼리로 넘길 때는 $+1$ 을 해서 넘겨줬다.

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2. 코드

1. 세그먼트 트리 [Java]

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {

    static class SegmentTree {
        int n;
        int[] tree;

        public SegmentTree(int n) {
            this.n = n;
            this.tree = new int[4 * n];
            init(1, 1, n);
        }

        void init(int node, int start, int end) {
            if (start == end) {
                tree[node] = 1;
                return;
            }

            int mid = (start + end) / 2;

            init(node * 2, start, mid);
            init(node * 2 + 1, mid + 1, end);
            tree[node] = tree[node * 2] + tree[node * 2 + 1];
        }

        void update(int idx) {
            update(1, 1, n, idx);
        }

        void update(int node, int start, int end, int idx) {
            if (start == end) {
                tree[node] = 0;
                return;
            }

            int mid = (start + end) / 2;

            if (idx <= mid) {
                update(node * 2, start, mid, idx);
            } else {
                update(node * 2 + 1, mid + 1, end, idx);
            }
            tree[node] = tree[node * 2] + tree[node * 2 + 1];
        }

        int queryKth(int k) {
            return queryKth(1, 1, n, k);
        }

        int queryKth(int node, int start, int end, int k) {
            if (start == end) return start;

            int mid = (start + end) / 2;

            if (k <= tree[node * 2]) {
                return queryKth(node * 2, start, mid, k);
            } else {
                return queryKth(node * 2 + 1, mid + 1, end, k - tree[node * 2]);
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());

        int N = Integer.parseInt(st.nextToken());
        int K = Integer.parseInt(st.nextToken());

        SegmentTree tree = new SegmentTree(N);
        int alive = N;
        int cur = 0;

        sb.append("<");
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            cur = (cur + K - 1) % alive;

            int idx = tree.queryKth(cur + 1);
            tree.update(idx);
            alive--;

            sb.append(idx);
            if (i != N - 1) sb.append(", ");
        }
        sb.append(">");

        System.out.println(sb);
    }
}

2. 펜윅 트리 [Java]

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {

    static class FenwickTree {
        int n;
        int[] tree;

        public FenwickTree(int n) {
            this.n = n;
            tree = new int[1 + n];
        }

        void update(int idx, int delta) {
            while (idx <= n) {
                tree[idx] += delta;
                idx += idx & -idx;
            }
        }

        int kth(int k) {
            int pos = 0;
            int bit = 1 << 17;

            while (bit > 0) {
                int next = pos + bit;
                if (next <= n && tree[next] < k) {
                    k -= tree[next];
                    pos = next;
                }
                bit >>= 1;
            }

            return pos + 1;
        }
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());

        int N = Integer.parseInt(st.nextToken());
        int K = Integer.parseInt(st.nextToken());

        FenwickTree tree = new FenwickTree(N);
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            tree.update(i, 1);
        }
        int alive = N;
        int cur = 0;

        sb.append("<");
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            cur = (cur + K - 1) % alive;

            int idx = tree.kth(cur + 1);
            tree.update(idx, -1);
            alive--;

            sb.append(idx);
            if (i != N - 1) sb.append(", ");
        }
        sb.append(">");

        System.out.println(sb);
    }
}

3. 세그먼트 트리 [C++]

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct SegTree {
    int n;
    vector<int> tree;

    SegTree(int n) : n(n), tree(4 * n) {
    }

    void init(int node, int start, int end) {
        if (start == end) {
            tree[node] = 1;
            return;
        }

        int mid = (start + end) / 2;

        init(node * 2, start, mid);
        init(node * 2 + 1, mid + 1, end);
        tree[node] = tree[node * 2] + tree[node * 2 + 1];
    }

    void update(int node, int start, int end, int idx) {
        if (start == end) {
            tree[node] = 0;
            return;
        }

        int mid = (start + end) / 2;

        if (idx <= mid) {
            update(node * 2, start, mid, idx);
        } else {
            update(node * 2 + 1, mid + 1, end, idx);
        }
        tree[node] = tree[node * 2] + tree[node * 2 + 1];
    }

    int queryKth(int node, int start, int end, int k) {
        if (start == end) return start;

        int mid = (start + end) / 2;

        if (k <= tree[node * 2]) {
            return queryKth(node * 2, start, mid, k);
        } else {
            return queryKth(node * 2 + 1, mid + 1, end, k - tree[node * 2]);
        }
    }
};

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n, k;
    cin >> n >> k;

    SegTree tree(n);
    tree.init(1, 1, n);
    int alive = n;
    int cur = 0;

    cout << '<';
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cur = (cur + k - 1) % alive;

        int idx = tree.queryKth(1, 1, n, cur + 1);
        tree.update(1, 1, n, idx);
        alive--;

        cout << idx;
        if (i != n - 1) cout << ", ";
    }
    cout << '>';
}

4. 펜윅 트리 [C++]

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct Fenwick {
    int n;
    vector<int> tree;

    Fenwick(int n) : n(n), tree(1 + n) {
    }

    void add(int idx, int delta) {
        while (idx <= n) {
            tree[idx] += delta;
            idx += idx & -idx;
        }
    }

    int kth(int k) {
        int pos = 0;
        int bit = 1 << 17;

        while (bit > 0) {
            int next = pos + bit;
            if (next <= n && tree[next] < k) {
                k -= tree[next];
                pos = next;
            }
            bit >>= 1;
        }

        return pos + 1;
    }
};

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n, k;
    cin >> n >> k;

    Fenwick tree(n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        tree.add(i, 1);
    }

    int alive = n;
    int cur = 0;

    cout << '<';
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cur = (cur + k - 1) % alive;

        int idx = tree.kth(cur + 1);
        tree.add(idx, -1);
        alive--;

        cout << idx;
        if (i != n - 1) cout << ", ";
    }
    cout << '>';
}

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3. 풀이 정보

1. 세그먼트 트리 [Java]

언어	시간	메모리	코드 길이
Java 11	264 ms	20172 KB	2409 B

2. 펜윅 트리 [Java]

언어	시간	메모리	코드 길이
Java 11	236 ms	22408 KB	1659 B

3. 세그먼트 트리 [C++]

언어	시간	메모리	코드 길이
C++ 17	32 ms	3588 KB	1660 B

4. 펜윅 트리 [C++]

언어	시간	메모리	코드 길이
C++ 17	24 ms	2412 KB	1090 B

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